Инструмент

Как Разрезать Пятиугольник На 4 Остроугольных Треугольника

Онлайн просмотр документа «84285

84285 (Задачи Лоповок), страница 6

Описание файла

Документ из архива «Задачи Лоповок», который расположен в категории «рефераты». Всё это находится в предмете «математика» из раздела «Студенческие работы», которые с легкостью отыщите в файловом архиве Студент. Не обращая внимания прямиком связь этого архива с Студент, его также всегда отыщите и в других разделах. Архив всегда отыщите в разделе «рефераты, доклады и презентации», в предмете «математика» в общих файлах.

Текст 6 страницы из документа «84285

В окружность вписан выпуклый четырехугольникАВСD.Докажите, чтоАС ВD=АВ СВВС АВ.

Две хорды пересекаются внутри окружности. Докажите что произведения отрезков этих хорд равны.

Две хорды взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов отрезков этих хорд равна квадрату поперечник окружности.

Окружность проходит через вершинуАпараллелограммаАВСВи пересекает прямыеАВ, АС, АВв точкахЕС|, г1. Докажите, чтоАВ АВ\АВ АВ^АС АС(Рис. 40).

Ломаная состоит из 7 звеньев, угол меж каждыми 2-мя смежными звеньями 150°. Докажите, что эта ломан;

имеет два звена, которые лежат на одной прямой или параллельны.

Данып 2точек, далековато не все где лежат на одной при мой. Докажите, что выстроить можно простую замкнутую ломаную, на звеньях в какой требуется размещаются что остается сделать нашему клиенту данные точки.

Сторона квадрата 12 см. Внутри его помещена ломаная длиной 51 см. Докажите, что эта ломаная имеет более четы­рех звеньев.

На сторонах треугольникаАВСвне его построены квад­раты с центрами0\, Оч,Оз. ТочкиАо, Во, Со —середины сто­рон треугольникаАВС, СцАоОдВ —параллелограмм (рис. 41). Докажите, что ломаные0\ВСоОзиО^ВцСоВравны.

Используя результат задачи 52, докажите, что отрез­ки0\0у.иО^Вравны и взаимно перпендикулярны. Выве­дите отсюда идеальный вариант построения треугольника по центрам квадратов, построенных на его сторонах вне тре­угольника.

Замкнутая ломаная состоит из 1989 звеньев не имеет самопересечений. Докажите, что ровненькая, не проходящая ни через одну вершину ломаной, не пересекает всех звеньев этой ломаной.

Турист двигался по ломаной, что остается сделать нашему клиенту звенья занят} имели родственную длину, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: на право 15°, 30°, 90°, 105°, на лево 120°, на право 75°, 30°, 90°. Был ли его маршрут замкнутым?

Многоугольник

У выпуклого многоугольника 1000 вершин, внутри него даны 2000 точек. Среди этих 3000 точек (вершин и данных) }носители инфы три не лежат на одной прямой. Многоугольник разбит на треугольники, вершинами которых являются только точки из числа названных. При всем этом треугольники не перекрываются и неважно какая из 3000 точек является вершиной хоть }учебника тре­угольника. Определите общее число треугольников.

Докажите, что у выпуклого многоугольника имеется диагональ, которая чем просто, когда, 2-ух его сторон.

Какое наибольшее число прямых углов для вас понравятся среди внутренних углов выпуклого многоугольника?

Неважно какая сторона п-угольника является поперечником круга. Зная, что эти круги содержат что остается сделать нашему клиенту внутренние точки много­угольника, определите возможные значенияп.

Докажите, что пластинку в форме выпуклого пятиуголь­ника есть вариант разрезать на три трапеции.

Докажите, что выпуклый га-угольник (п

4) естественно раз­делить нап — 2трапеции.

Диагональ делит выпуклый пятиугольник на ромбАВВЕи равносторонний треугольникВСВ.Найдите уголАСЕ.

Докажите, что выстроить можно пятиугольник, стороны которого равны диагоналям некоторого пятиугольника.

Постройте пятиугольник по положению середин всех его сторон.

Постройтепятиугольникпо положению середин всех его диагоналей.

66.АВСВЕР —шестиугольник, середины сторон которогоК, Ь, М, К, О, Р.Докажите, что центры масс треугольниковКМОиШРсовпадают.

В окружность вписан выпуклый семиугольник, у кото­рого градусные меры 3-х углов равны по 120°. Докажите, что среди сторон этого семиугольника бывают две равные.

Стороны треугольника 5, 6, 10 см. Три прямые, соответ­ственно параллельные сторонам треугольника, попарно пере­секаются вне треугольника. Эти прямые пересекают стороны треугольника так, что возникает равносторонний шестиуголь­ник. Найдите его периметр.

Нашему клиенту остается углы выпуклого шестиугольника равны. Докажите, что разности длин его параллельных сторон идентичны.

Площадь прямоугольника

Меньшая из боковых сторон прямоугольной трапецииа.Другая боковая сторона равна сумме оснований. Найдите пло­щадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям названной трапеции.

Диагонали ромба 30 и 40 см. Вписанная в ромб окруж­ность касается его сторон в точкахА, В, С, В.Найдите площадь четырехугольникаАВСВ.

Длины сторон прямоугольникааиЬ.Как разрезать его на две части, где естественно сложить квадрат, если:

а) о = 8 см»Ъ= 18 см; б) о 9 см,Ь= 16 см?

Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами в сантиметрах, при всем этом периметр (в сантиметрах) и пло­щадь (в квадратных сантиметрах) выражены похожими числами. Найдите площадь прямоугольника.

Расстояния внутренней точки М от 3-х вершин квадра­таАВСВтакие:МА7 см,МВ= 17 см,МС23 см. Найдите площадь квадрата.

Даны три параллельные прямые, средняя где удалена от 2-ух других на о и Ь. Найдите площадь квадрата, три вершины которого находятся на этих прямых.

В окружность радиуса Д вписан прямоугольник пери­метра Р. Найдите площадь прямоугольника.

Площадь параллелограмма

Найдите площадь параллелограмма по его периметруРи двум высотам —Н\иН 68.

Найдите углы треугольника, у которого 8 (о 5 Ь 4 ).

Докажите, что в каждом треугольнике

аЬ Ь2).

Верно ли, что в треугольнике со сторонами а, Ь, с и высотамиНа, Ъ.ь, Нс: (аЬ с)

Длины 2-ух сторон треугольника да и дополнительно Ь, биссектрисы углов при третьей стороне пересекаются под углом 15°. Найдите площадь треугольника.

Два равных прямоугольника имеют общую диагональ, докажите, что площадь их общей части огромную часть пло­щади каждого прямоугольника.

Докажите, что площадь четырехугольника менее произведения полу сумм длин оборотных сторон.

Около квадратаАВСВописана окружность. Найдите тут такую точкуМ,чтобы произведениеМА МВ МС МВимело наибольшую возможную величину.

Площадь параллелограммаАВСВравна О. ВершинаМпараллелограммаАМКВделитВСтак, чтоВМ : МС=3:5. Найдите площадь общей части параллелограммов.

Площадь четырехугольника 2.

Три прямые параллельны. Средняя из их числа удалена от 2-ух других на 4 и 7 см. Найдите площадь равностороннего треугольника, вершины которого лежат на этих 3-х прямых.

Площадь трапеции

Треугольник разбит на три трапеции, общей верши­ной которых является центр масс треугольника. Сравните площади названных трапеций.

Площадь квадрата, построенного на диагонали равнобокой трапеции, в 4 раза чем просто площади трапеции. Найдите угол меж диагоналями трапеции.

Сумма площадей квадратов, построенных на диагона­лях трапеции, в 4 раза чем просто площади трапеции. Докажите, что диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны.

Основания трапецииВСиАВ,диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольниковАВОиВСОравны 50 и 20 см 4.5. Найдите площадь трапеции.

Угол меж диагоналями равнобокой трапеции равен 60° (два варианта). Как разрезать эту трапецию на может быть меньшее число частей, где есть вариант сложить равносторон­ний треугольник?

Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендику­лярны. Продолжения боковых сторонАВиСВпересекаются в точкеМпод углом в 30°. Зная, что площадь треугольникаВМСравнаО,найдите площадь трапеции.

В полукруг радиуса 3.2 см вписана трапеция, периметр в какой требуется равен 10 см. Найдите площадь трапеции.

Площади похожих фигур

Площадь треугольника равна8.Каждую его сторону продлили на своей длины в оба страны. Найдите площадь шестиугольника, который вышел, когда соединили концы обозначенных отрезков.

В равносторонний треугольникАВСвписали треуголь­никВЕР,стороны которого соответственно перпендикулярны сторонам треугольникаАВС.Найдите отношение площадей треугольниковВЕРиАВС.

Как начертить пятиугольник вписанный в круг или звезда

Площадь треугольникаАВСравна 120 см 2. Каждую его сторону разделили относительно 1:3.5:1. Через точки деле­ния провели три прямые, которые отсекли от треугольника три треугольника (рис. 47). Определите площадь оставшегося шестиугольника.

На высотахВКиВМромбаАВСВвыстроили ромб. Зная, что его площадь вдвое меньше площади ромбаАВСВ,найдите величины углов ромба.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24 см. Ровненькая, параллельная наименьшей медиане, поделила тре­угольник на части, площади которых относятся, как 1 : 7. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного сторонами треугольника.

В прямоугольный треугольник, две большие стороны которого 8 и 10 см, вписана окружность. Построив касательные к ней, соответственно параллельные сторонам треугольника, получили шестиугольник. Найдите его площадь.

Основания трапеции 7 и 17 см. Ровненькая, параллельная основаниям, поделила трапецию на равновеликие части. Най­дите длину отрезка прямой, ограниченного боковыми сторонами трапеции.

Через внутреннюю точку М треугольникаАВСпроведе­ны три прямые, соответственно параллельные сторонам тре­угольникаАВС.Площади образовавшихся треугольников с вер­шиной М равный), иг, 4.5 У2; 5) про­изведение наименьшей диагонали на наибольшую; 3)А\АзХ XА\А^,4) кубический корень из двойного произведения длин стороны и всех диагоналей, исходящих из одной вершины;

5) двойное произведение стороны на диагональА\А^;

6) произведение 2-ух неравных параллельных диагоналей. Какие из этих ответов правильны?

Уголки квадрата срезаны так, что вышел правиль­ный восьмиугольник. В какой степени процентов уменьшилась пло­щадь фигуры?

Сторона правильного шестиугольника равнаа.Через вершину шестиугольника проведена ровненькая, разделившая его на части, площади которых относятся, как 1 : 3. Найди­те длину отрезка прямой, ограниченного сторонами шести­угольника.

Вычислите площадь многоугольника по координатам всех его вершин.

ЧетырехугольникАВСВразбит на три части отрезка­ми, которые не пересекаются и делят стороны.АО иВСна три равные части (рис. 50). Докажите, что площадь средней части равна трети площади четырехугольникаАВСВ.

Длина окружности

Одна окружность построена на катете прямоугольного треугольника, как на поперечнике. Другая окружность проходит через середины всех сторон треугольника. При каком условии обе окружности равны?

Сторона квадратаАВСВравна 8см. Найдите длину окружности, которая проходит через точкиАv.В тикасается стороны СО квадрата.

В окружность радиуса Л вписан верный двена­дцатиугольник. Его малые диагонали пересекаются в точках, лежащих на некоторой окружности. Определите ее длину.

В окружность радиуса Д вписан равносторонний тре­угольникАВС.Найдите длину окружности, которая касается данной окружности и продолжений сторонАВиАСтреуголь­ника.

Радиус окружности 3.2 см. Две окружности с радиусами по 1 см касаются одна другой и внутренним образом касаются большей окружности. Найдите длину окружности, касающей­ся этих 3-х окружностей.

Периметр равностороннего треугольникаАВСравен Р. Найдите длину окружности, которая касается стороныАВи ме­дианАВиВЕ.

Длина отрезка равна половине длины окружности. Есть разные способы его построения:

а) Герона Александрийского:

б)А. Коханского:АВ —поперечник окружности,СВ —каса­тельная, проходящая через точкуВ; А- СОВ30°,СВЗЛ. Разыскиваемый отрезок —АВ(рис. 51);

в) X. Гюйгенса: разыскиваемый отрезок равен 8012В;

г) Если катеты прямоугольного треугольника 8 и 9, то по­ловина длины окружности единичного радиуса равна разности меж гипотенузой и 8, 9. Проверьте точность построения отрезка этими способами.

Как относятся длины окружностей, одна где описана около равностороннего треугольника, а другая про­ходит через центры вневписанных окружностей.

Длина дуги окружности

ХордыАВиСВокружности параллельны. Докажите, что дугиАСиВВравны.

Докажите, что если две хорды окружности равны, то равны и дуги, стягиваемые этими хордами.

Неважно какая сторона треугольника 6 см. Вокруг тре­угольника вне его катится круг радиуса 2.4 см. Определите длину пути центра круга за один оборот вокруг треугольника.

На сторонеАВ аправильного шестиугольникаАВСВЕРвне его построен квадрат. } миф квадрат перемещается вокруг шестиугольника так, что повсевременно одна из вершин квадрата совпадает с вершиной шестиугольника. Определите длину пути центра квадрата за один оборот вокруг шести­угольника.

Неважно какая вершина квадрата со сторонойаявляется центром окружности радиусаа.Найдите периметр криволиней­ного четырехугольника, ограниченного названными окружно­стями.

Вершины прямоугольника делят описанную окруж­ность на части, длины 2-ух где относятся, как 1 : 5. Найдите радианные меры углов, которые диагональ прямо­угольника образует с его сторонами.

Радианные меры 2-ух углов треугольника.^- и-^.

Найдите отношение длин сторон треугольника, лежащих про­тив названных углов.

ВершинаАравностороннего треугольникаАВСявляет­ся центром окружности, проходящей через точки В и С. Бис­сектрисы угловВ и Спересекают окружность в точках М и Р. Определите радианную меру центральных углов, соответствую­щих дугамРВ, ВС, СМ, МР.

Площадь круга и его частей

Периметр равностороннего треугольникаР.На высоте треугольника, как на поперечнике, построена окружность. Опреде­лите площадь части круга, находящейся внутри треугольника.

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треуголь­ника о. На катете, как на поперечнике, построена окружность. Найдите площадь той части круга, которая находится внутри

178.АВ —основание полукруга, точкаМнаходится на окружности. Построены полукруги с поперечникамиАМиВМ.До­кажите, что сумма площадей луночек (другими словами частей полу­кругов, находящихся вне большущего полукруга) равна площади

треугольникаАМВ.

179.АВ —поперечник полукруга, С — точка этого поперечник»СО —перпендикуляр кАВ,при всем этом точкаВнаходится на ок­ружности. Построены полуокружности поперечниковАС та ВСвнутрь полукруга. Докажите, что площадь фигуры, ограничен­ной 3-мя названными полуокружностями (она называется арбелоном) равна площади круга поперечникаСВ(рис. 52).

На диаметре полукругаАВотложены равные отрезкиАВи СО. НаАВи СО, как на диаметрах, построены полукруги внутри большого полукруга, наВС —вне большого полукруга. РадиусыОЕиОРпроходят через серединуВСперпендикулярноВС.Докажите, что площадь фигуры, закрашенной желтым на рисунке 53, равна площади круга диаметраЕР.

Теорема косинусов

Найдите периметр треугольника, у которого длины сторон (в сантиметрах) выражаются последовательными не­четными числами, а один из углов вдвое больше суммы

Вычислите величины углов вписанного в окружность

четырехугольника, у которого длины сторон 14, 30, 40, 48.

Докажите, что в треугольникеАВС: аЬсое С

ассозВЬссоаА^ — Р 2.

МедианыАОи ВД треугольникаАВСвзаимно перпен­ дикулярны, докажите, что 5АВ2АС2ВС2.

Вычислите(аЪсоа С ас соа ВЬс сов А) : (а4Ь’г

-(-с5),где а, Ь, с,/- А, /- В, /- С —элементы }учебника треуголь­ ника.

На поперечникеАВокружности взята точкаМ;хордаСОпараллельнаАВ.Докажите, что величинаМС3.2МО2.4не

1 зависит от выбора точки С.

На сторонах треугольника с длинами сторон 5, 6, 7 вне треугольника построены квадраты. Найдите сумму квадра­тов сторон шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, находящиеся вне треугольника.

Квадрат произведения длин диагоналей параллело­грамма равен сумме четвертых степеней длин 2-ух смежных сторон. Найдите величины углов параллелограмма.

ТочкаМнаходится на сторонеВСтреугольникаАВС.Докажите, чтоАМ3.5ВС=АВ5СМАС4.5‘ ВМ — ВС ВМ X X СМ.

Окружности радиусов 1 и 3.5 касаются одна другой внешним образом и касаются окружности радиуса 3 внутрен­ним образом. Найдите радиус окружности, которая касается всех 3-х названных окружностей.

Внешние углы треугольника при вершинахВ, Ссоответственноа,(3,у,докажите, чтоаЬ(1 — сое у)-\- ас (1 —

С08 Р)ЬС(1. С08 и) 4-Р2

Докажите, что в треугольникеАВС’.аас

Докажите, что треугольникАВС —остроугольный, если:

а) его периметр 17 см, а длина наибольшей стороны 7 см; б) его периметр 99 см, а длина наименьшей стороны 29 см.

Центр вписанной в прямоугольный треугольник окруж­ности удален от концов гипотенузы на 7 и 5-л/2см. Найдите длины сторон треугольника.

Докажите правильность формул для вычисления

площади треугольника:8 =^ —.\/4а^Ь2— (о 2 Ь 2 — с 2 ) 2 =

=.1-.узГ^Ь 2 оУЬ^с2).(а 4 Ь 4 с 4 ).

Докажите, что в треугольникеАВС:

С08АЪС08ВС С08 С Г

оЬс Л

Докажите, что в четырехугольникеАВСВ: АВ24В 2ВС2СО 2. 2АВ ВС. сое В. 2 ВС СО совС2АВ СОсоз(А О).

Если сумма квадратов диагоналей выпуклого четырех­угольника равна сумме квадратов двух противолежащих сторон, то продолжения двух других сторон пересекаются по, р прямым углом. Докажите.

Площадь треугольникаАВСравна О. Определите величинуа2втЬ2ат2А.

ТочкаМнаходится внутри треугольникаАВС.ЛучиАМ, ВМ, СМделят углы треугольника на части ои и оса, ?1 иЗа, vi иу-г-Докажите, чтовт а\вт р) аш viет К2 X

Если лучи, исходящие из вершин треугольника, обра­зуют со сторонами при этих вершинах такие углы ои, »2, Рь

^2, vi» 72, ЧТО ЯШ ОЦ 8Ш ?! 81п ^1 В™ Й2 8П1 ?2 8Ш 72, ТО ЭТИ ЛуЧИ

пересекаются в одной точке. Докажите.

Верно ли утверждение задачи 200 для четырехуголь­ника?

Докажите, что биссектриса внутреннего угла треуголь­ника делит сторону на части, обратно пропорциональные синусам углов треугольника, прилежащих к отрезкам стороны.

Высоты остроугольного треугольникаАВСпересекаются в точкеН.Докажите, чтоАН—-

Диагонали выпуклого четырехугольникаАВСВпере­секаются в точке О.М\иМч —центры масс треугольниковВОСиАОВ, Н\и Й2 — ортоцентры треугольниковАВОиСОО.Используя результат задачи 204, докажите, что прямыеМ\Мчи Й1Й2 взаимно перпендикулярны.

206.АВиАС— хорды окружности. На продолженииАВотмечена точкаNна расстоянииАВотАСи на продолжении АС отмечена точкаМна расстоянииАСотАВ.Докажите, чтоМНравен диаметру данной окружности.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Докажите, что в треугольнике Тоа — «л/26 2 2с 2 — о 2.

Используя результат задачи 207, установите,что».

а)т1 т1от? =.|-(о 2 Ь 2 с 2 ); б) от 4т1те 4 =

Докажите, что з четырехугольнике сумма квадратов диагоналей меньше суммы квадратов сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей.

Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, является параллелограммом.

Диагонали параллелограммаАВСВпересекаются в точке О. Периметры треугольниковАВО, ВСОи параллело­грамма соответственно 28, 30 и 48 см. Найдите диагонали параллелограмма.

Как по длинам сторон и углу между диагоналями параллелограмма найти длины диагоналей?

Как по длинам диагоналей и углу параллелограмма найти длины сторон параллелограмма?

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

Аксиомы стереометрии

и следствия из них

На двух плоскостях отмечены по две точки. Сколько различных плоскостей определяют эти точки?

Сколько различных плоскостей могут определять 5 точек? Подтвердите свой ответ перечислением плоскостей (обозначив точки буквами).

Сколько различных плоскостей могут определять 5 данных параллельных прямых? Обоснуйте ответ перечислением этих плоскостей.

Окружность имеет общую точку с каждой стороной четырехугольника. Можно ли утверждать, что обе эти фигуры лежат в одной плоскости?

Сколько существует плоскостей, каждая из которых содержит, по крайней мере, три вершины данного куба?

На сколько областей разбивают пространство плоскости всех граней куба?

На каждом из трех параллельных ребер куба отмечено по 2 точки. Сколько различных плоскостей могут определять эти точки?

Плоскость б пересекает плоскости ос и Р. Докажите, что если косильной лески пересечения плоскостей пересекаются, то точка их пересечения находится на прямой, по которой пересекаются а и р.

Середины всех диагоналей пятиугольника лежат в одной плоскости, причем никакие две из них не совпадают. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

Середины всех сторон многоугольника с нечетным числом вершин лежат в одной плоскости. Докажите, что все его вершины лежат в той же плоскости.

Данып4 точек, каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плос­кости.

Параллельность прямых в пространстве

Докажите, что две прямые параллельны тогда и только тогда, когда любая плоскость, пересекающая одну из них, пере­секает и другую.

ТочкиА, В, С, Влежат вне плоскости параллелограм­маК^МN,причемК —серединаАВ, Ь —серединаВС, М— середина СО. Является лиNсерединой отрезкаА07

Середины пяти сторон шестиугольника находятся в од­ной плоскости. Докажите, что середина шестой стороны находится в той же плоскости.

На двух пересекающихся плоскостях 6 и о дано по точке. Как построить через эти точки прямые, которые не пере­секают ни одной из названных плоскостей?

Через прямуюIпроходят две плоскости а и а. Две параллельные прямые пересекают эти плоскости: одна в точкахАиВ,другая — в точке С и еще одной, которую требуется построить.

ТочкиА, В, С, Оне лежат в одной плоскости. Дока­жите, что середины шести отрезков с концами в этих точках являются серединами трех параллелограммов.

Точка М лежит вне плоскости правильного шести­угольникаАВСОЕР.Верно ли, что прямая, проходящая через середины отрезковМВи МС, параллельна: а)АО;б) СО?

По условию задачи 18 определите, каким сторонам или диагоналям шестиугольника параллельна прямая, проходящая через середины отрезковМАиМС.

Точка М находится вне плоскости правильного пяти­угольникаАВСОЕ.Каким сторонам или диагоналям пятиуголь­ника параллельна прямая, проходящая через центры масс тре­угольниковМАВиМАЕ7

21.МиN—центры гранейАВВ\А\иВСС\В\кубаАВСОА\В\С\0\.Каким ребрам или диагоналям граней куба параллельна прямаяМН?

22.АВСОЕР —замкнутая ломаная, не все звенья которой находятся в одной плоскости. Отрезки, соединяющие середины звеньевВСиАР, СОиЕРравны и параллельны. Параллельны ли звеньяАВиОЕ’!

23.АВСТ) —квадрат со стороной 6 см. ТочкаМудалена от каждой вершины квадрата на 7 см. Определите рас­стояние от середины отрезкаМАдо середин всех сторон квадрата.

Периметр правильного шестиугольникаАВСОЕРравенР.Точка О, находящаяся вне плоскости шестиугольника, соеди­нена отрезком с каждой его вершиной. Из центра масс треуголь­никаОАВпроведены до пересечения в точках М),Мч,Мз,М^,Мв, Мб с плоскостью шестиугольника прямые, соответственно параллельныеОА, 0В, ОС, 00, ОЕ, ОР.Найдите периметр и площадь шестиугольникаМ\МчМгМ^МъМ^.

Три плоскости попарно пересекаются. Докажите, что косильной лески их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

26.АВСО —квадрат со стороной 6 см, прямыеАМиСТпараллельны. На них по одну сторону от квадрата отмечены такие точкиМиТ,чтоМА : ТС4:3. На каких расстояниях от вершин квадрата находится точка, в которой прямаяМТпересекает плоскость квадрата?

Параллельность прямой и плоскости

Плоскости б и а пересекаются. Докажите, что через каж­дую точку плоскости б можно построить прямую, которая либо параллельна плоскости2МБ2МС2^(й 2 МО 2 ), где О — центр окружности.

READ  Как правильно отрезать плинтус на пол

99.МО —перпендикуляр к плоскости, проходящей через

ее точку O. MA = 10 см, MB=16 см, ^OAM=^2OBM.

Из точки M, находящейся вне плоскости б, проведены

к этой плоскости перпендикуляр MO и наклонные MA и MB.

Зная, чтоАО =33 см,ВО= 8 см,/- АМО=.|- ^ВМО,найдите МО.

101 Из точки М проведены к плоскости 6 перпендикуляр

МО и наклонныеМА, МВ, МС.ПроекцииМВи МС меньше проекцииМАна 33 и 48см,^ОАМ : А.ОВМ: ^ОСМ =1:2:3. Найдите МО.

Теорема о трех перпендикулярах

Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные от

прямых, содержащих стороны данного треугольника?

Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные

от трех прямых, находящихся в плоскости б?

Катеты прямоугольного треугольникаАВС 12и 16 см. ТочкаМудалена от каждой из прямыхАВ, АС, ВСна 13 см. Найдите ее расстояние от плоскостиАВС.

ТочкаМудалена от вершины и сторон прямого угла соответственно на 16, 12, 11 см. Найдите ее расстояние от плоскости прямого угла.

На плоскости 6 дан угол в 60°. Точка М удалена от его вершимы на 5. см, а от сторон на 4 и 3 см. Найдите расстоя­ние от точки М до плоскости названного угла.

Основания прямоугольной трапеции 10 и 15 см. Точка М удалена от каждой стороны трапеции на 10 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.

На плоскости 6 отмечены точкиА и В, на.плоскости а — точки С и В так, чтоАВ13 см, СО = 14 см,АС8 см,ВВ17 см, причем прямаяАСперпендикулярна плоскостям 6 и ст. Найдите расстояние междуАСиВВ.

Если существует точка, равноудаленная от всех сторон | параллелограмма, то этот параллелограмм — ромб. Докажите.

Перпендикулярные плоскости

Какую фигуру образуют все прямые, которые проходят через вершину данного угла (меньше развернутого) и образуют ^ с его сторонами равные углы?

Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные

от двух данных пересекающихся прямых?

ПрямоугольникАВСВ,стороны которого 3 и 4 см, перегнули по диагоналиАСтак, что треугольникиАВСиАВСоказались в перпендикулярных плоскостях. Определите рас­стояние между точкамиВ и Впосле перегиба.

Плоскости » и р перпендикулярны плоскости 6. Докажите, что леска пересечения плоскостей а и р перпендикулярна плоскости 6.

Концы отрезкаАВлежат на двух данных взаимно периендикуляриых плоскостях. Опущены перпендикулярыАА1 ибв[на леску пересечения плоскостей. Здая, чтоАВ= | = 21 см,АА\11 см,ВВд16 см, найдитеа\в[.I

КвадратыАВСВиАВС\В\имеют площади по 32 см 2. Зная, что расстояние междуСВиС\В\равно 8 см, докажите, что плоскости квадратов взаимно перпендикулярны.

Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямойI.ОтрезокАВимеет концы на этих плоскостях и образует со своими проекциями углы в 30° и 45 е. Найдите угол между направлениямиIиАВ.

117.АВСОквадрат, плоскостьМАОперпендикулярна плоскости квадрата,ММ \\ АОНаАВдана точкаТ.Как по­строить через эту точку прямую, образующую равные углы с АВ иМт

Периметры равносторонних треугольниковАВСиАВОравны по 24 см, плоскости треугольников взаимно перпенди­кулярны. Постройте общий перпендикуляр медианАОи ОМ этих треугольников и найдите его длину.

Плоскости квадратаАВСОи равностороннего тре­угольникаАВМвзаимно перпендикулярны,АВа.Постройте общий перпендикуляр прямой АС и медианыМОтреугольника и определите длину этого перпендикуляра.

Прямоугольные координаты в пространстве

Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3″ 2), (8; 7, 1). Найдите координаты четвертой вершины.

Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1- 8), (4; 7; 1), (3; 5, 8). Найдите координаты четвертой вершины.

Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3; 4), (2 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника.

Координаты вершинА, С, Еправильного шестиуголь­никаАВСОЕР:(—3; 7; 5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите коорди­наты остальных вершин и центра шестиугольника.

Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что средняя леска трапеции параллельна плоскостихуили находится в этой плоскости.

Лежат ли на одной прямой точки.А(5; —1; 4), В(4;

Докажите, что отрезкиАВиСО,концы которых на­ходятся в точкахА(»;—1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), 0(8; 6; 13), пересекаются и при этом делятся в отношении 1:2.

На ребрахАА^,В\С^ СОкубаАВСОА\В\С\0\найдите по точке, чтобы сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной.

Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна плоскостихуи пересекает отрезок с концами.А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7). Определите координаты точки пере­сечения.

Найдите точку с наименьшей суммой квадратов рас­стояний от точек с координатами (1; 2; 4), (4; 5; 1), (7; 2; 1).

Векторы в пространстве

130.АВСО —прямоугольник, точкаМнаходится вне его плоскости. Докажите, чтоМА2МС2МВ 2 МО 2

ТочкаМнаходится вне плоскости треугольникаАВС,центр масс которого —Т.ТочкаКделит отрезокМТтак, чтоМК3КТ.Докажите, чтоАК ВК СК МК= 0.

Если направлениеАВобразует с направлениямиСО, СЕ, ОЕравные углы, то прямаяАВперпендикулярна плоскостиСОЕ.Докажите.

Верно ли, что, еслиМ. —центр правильного много­угольникаА\АчА^. Ап,тоМА\МАгМАзМАп= О?

Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех вершин данного правильного многоугольника.

ТочкаМотстоит от центра кубаАВСОА \В\С\0\на 7 см. Найдите длину вектораМАМВМС4-МОМА]МВ1 МС\М0\. _

По условию задачи 135 найдите длину вектораМР\

МР2 -МРзМ?4 М?5МРб,ГДе ?1, ?2, рз, Л,Р^

Ре — центры граней куба.

Через центр массТтреугольникаАВСпроведена. прямая, на ней отмечены такие точкиА\, В\, С\,чтоаа[|| II ВВ) ||СС\.Докажите, что: а) ла) ВВ1СС\0;

б)ТА^ТВ,ТС\0.

Докажите, что прямую, проходящую через точкиАи В, можно определить, как совокупность точекМ,удовле­творяющих условиюАМ = р АВ,где —оо 2.|- (у — З) 2 = 25. ТочкаАимеет координаты (0; 0; 5). Найдите на окружности такую точкуВ,чтобы угол междуАВихубыл наименьшим возможным.

164.АВСВ —квадрат, точкаМнаходится вне его плоскости. ПрямыеВС т АСобразуют с плоскостьюАВМуглы, градусные меры которых разнятся на и. Определите величины этих углов.

Из точки М, находящейся вне плоскости 6, проведены к »той плоскости наклонныеМА23 см иМВ= 9 см. Зная, что углы между наклонными и плоскостью б относятся, как 1 : 3, определите расстояние от точкиМдо плоскости б.

1@6. Из точкиМ,удаленной от плоскости 6 на 24 см, по­строены две наклонные, длины которых относятся, как 5 : 8. Углы между наклонными и плоскостью относятся, как 1 : 2. Найдите длины наклонных.

Из точки М ^ б проведены к плоскости наклонныеМАиМВ,проекции которых на плоскость 11 и 37 см. Зная, что углы между наклонными«плоскостью относятся, как 3:1, найдите расстояние отМдо 6.

168.МАиМВ. наклонные, образующие с плоскостью 5, содержащей точкиАиВ,углы, один из которых в 4 раза больше другого. Зная, что проекции наклонных на эту пло­скость 600 и 119 см, найдите расстояние от точкиМдо пло­скости

Из точкиМк плоскости 8 проведены наклонныеМАиМВдджнон 79′ и 25 ем. Углы между наклонными и плоскостью отяовявтся, как 1 : 5. Найдите расстояние от точкиМдо пло­скости 6.

17г_ 1 12 1. ^

ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС

Многогранник

На сколько частей делят пространство плоскости всех граней: а) треугольной призмы; б) куба; в) треугольной пира­миды?

Изобразите многогранник с общим числом ребер: а) 11;

Докажите, что никакой многогранник не имеет ровно 7 ребер.

Изобразите многогранник, отличный от пирамиды, у ко­торого вершин столько же, сколько граней.

Даны 5 точек, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости. Определяют ли данные точки единственный много­гранник с вершинами в этих точках?

Может ли существовать многогранник с нечетным числом граней, причем все его грани — четырехугольники?

Иногда призму определяют как многогранник, у которого две грани — многоугольники, лежащие в параллельных пло­скостях, а все остальные грани — параллелограммы. Приведите примеры, свидетельствующие о неточности такого определения.

Изобразите призму, у которой вершин столько же, сколь­ко диагоналей.

Может ли неправильная призма иметь 4 плоскости сим­метрии? Если да, изобразите призму, отвечающую этому ус­ловию.

Ребро куба 2 см. Паук находится в центра грани куба. Какой наименьший путь по поверхности куба придется проделать пауку, чтобы попасть х вершину параллельной грани?

11.АВСРЕРА\В\С1Р\ЕлР\ —призма. Докажите, чтоАВ\ВС) СДА?1 РЁ1ЯА.

Диагональ боковой грани правильной й®стиугольной призмы образует с плоскостью основания угол, который на 15° больше угла между малой диагональю призмы и пло­скостью основания. Найдите эти углы.

18.АиВ —середины двух несмежных боковых ребер правильной шестиугольной призмы. Найдите на плоскости нижнего основания призмы вое такие точки, что прямыеМАиМВобразуют равные углы с плоскостью нижнего основания приемы.

Верно ли, что площадь боковой грани треуголь­ной призмы меньше суммы площадей остальных боковых граней?

Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпен­дикулярны. Докажите, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани.

Три диагонали четырехугольной приемы имеют общую точку О. Докажите, что и четвертая диагональ приемы про­ходит через точку О.

Стороны основания прямой треугольной призмы от­носятся, как 5 : 9 : 10. Диагонали двух меньших боковых гра­ней 26 и 30 см. Найдите площадь третьей боковой грани.

Пьедестал имеет форму правильной призмы. Проходя мимо него, можно видеть то 3, то 4 боковые грани. Определите число боковых граней пьедестала.

Основание призмы — прямоугольный треугольникАВС,две боковые грани(АВВ\А\иАСС\А\) —квадраты. Найдите ^В^АСх.

Найдите точку с наименьшей суммой квадратов рас­стояний от всех вершин данной правильной треугольной призмы.

Площадь поверхности призмы

Докажите, что площадь боковой грани любой призмы менее половины площади боковой поверхности призмы.

Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большой диагонали основания. Найдите отноше­ние площадей боковой и полной поверхности призмы.

Расстояния боковых ребер треугольной призмы от па­раллельных боковых граней равны 12, 15, 20см; меньшая боковая грань имеет форму квадрата и перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь поверхности призмы.

Площадь основания и площади боковых граней прямой треугольной призмы соответственно равны 480, 312, 200, 128 см 2. Найдите высоту призмы.

Основаш1е прямой призмы — ромб. Зная, что ее высота и диагонали 40, 41, 50 ем, найдите площадь боковой поверхно­сти призмы.

Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания, взятые через одну, имеют длины по 5 см, остальные стороны до 3 см. Найдите площадь поверхности призмы.

Высота правильной шестиугольной призмыН.Диагонали двух соседних боковых граней, проведенные иа одной вершины, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь боковой поверх­ности призмы.

Какую наибольшую площадь боковой поверхности может иметь правильнаяп-угольная призма, у которой диаго­наль боковой грани и?

Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см. Площади боковых граней относятся, как 7 : 15 : 20 : 24, длина диагонали наибольшей боковой грани 52 см. Вычислите площадь поверхности призмы.

Сечение призмы плоскостью

Докажите, что сечение правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через концы трех ребер, исходящих из одной вершины, является остроугольным тре­угольником.

Через боковое ребро треугольной призмы проведены два сечения: одно перпендикулярно противолежащей боковой грани, другое — через ее центр. Зная, что плоскости сечений делят угол между двумя боковыми гранями на три равные части, найдите величины двугранных углов между боковыми гранями призмы.

Постройте сечение куба плоскостью, не параллельной ни одной грани куба, чтобы оно имело форму квадрата.

Ребро куба о. Построено сечение, имеющее форму пра­вильного /г-угольника. Для какихпи как именно можно по­строить такие сечения? Вычислите его площадь для каждого

Дан кубАВСТА\В\С\1)\.Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины реберАВиВСпарал­лельно диагоналиВ^\.

Стороны основания треугольной призмы 25, 39, 56 см. Сечение, проходящее через центр наибольшей боковой грани и боковое ребро, имеет форму квадрата. Найдите площадь по­верхности призмы.

В правильной четырехугольной призме сторона осно­вания 2 см, высота 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух смежных сторон основания и центр призмы (рис. 58).

Длина каждого ребра правильной шестиугольной приз­мыАВС^ЕРА\В\С\^\Е\1:^’\4см. Найдите площадь сечения, ко­торое проходит через вершиныАи С параллельно диагонали призмыВЕ^.

В правильной четырехугольной призмеАВСВА^В\С\В\боковая грань и сечениеАВ\Сравновелики. Найдите угол между плоскостью названного сечения и боковым ребром призмы.

Плоскость пересекает боковые ребра прямой треуголь­ной призмыАВСА\В\С\так, что сечением оказался равно­сторонний треугольникКЬМпериметра 36 см. Известно, чтоАК =16 см,ВЬ=11 см,СМ= 5 см. Найдите угол между медианойКВсечения и плоскостью основания (рис. 59).

В правильной четырехугольной призме построены два параллельных сечения: одно через середины двух смежных сторон основания и центр призмы, другое — через диагональ основания (рис. 60). Найдите отношение площадей сечений.

Параллелепипед

Сечение призмы плоскостью, пересекающей все боковые ребра — параллелограмм. Докажите, что эта призма — парал­лелепипед.

разрезать, пятиугольник, остроугольный, треугольник

Боковое ребро прямоугольного параллелепипедаI,диагональ его вдвое меньше периметра основания. Определите площадь основания параллелепипеда.

Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квад­рат площади сечения с вершинами в концах ребер, исходящих из одной вершины, в 8 раз меньше суммы квадратов площадей всех граней параллелепипеда.

Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба втрое меньше диаго­нали куба.

Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле­лепипеда равна сумме квадратов его ребер.

Расстояния от центра параллелепипеда до его вершин 18, 15, 11, 10 см. Зная, что длины трех ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными целыми числами, определите периметры граней параллелепипеда.

Боковое ребро параллелепипеда 10 см, периметр осно­вания 56 см. Расстояния от вершин одного основания до центра другого основания 18, 17, 10, 9 см. Найдите стороны основания.

Диагонали параллелепипедаАВСОА \В \С \В\пересекают­ся в точкеО.Периметры треугольниковОАА\, ОАВиОАОрав­ны 36, 37, 29 см, АЛ, 17 см,АВ =11 см,АО =6 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

Боковое ребро параллелепипеда 3 см, стороны основа­ния 10 и 11 см. Зная, что длины диагоналей (в сантиметрах) выражены последовательными четными числами, найдите пло­щади диагональных сечений.

Длины ребер параллелепипеда 9, 13, 14 см, длины его диагоналей (в сантиметрах) выражаются последовательными четными числами. Найдите расстояния от центра параллелепи­педа до вершин.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда 192 см 2. Если бы каждое измерение его было на 1 см больше, площадь поверхности равнялась бы 274 см 2. Определите длину диагонали параллелепипеда.

Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть правильным пятиугольником.

Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный параллелепипед, у которого длина диаго­нали и?

Какую наибольшую площадь поверхности может иметь параллелепипед, у которого сумма длин всех ребер 48 см?

Могут ли середины всех высот треугольной пирамиды находиться в одной плоскости?

Сумма плоских углов при всех вершинах пятиугольной призмы равна сумме плоских углов при всех вершинах пира­миды. Определите число ребер этой пирамиды.

Плоские углы при каждой вершине пирамиды равны между собой. Определите форму основания пирамиды.

Какова бы ни была треугольная пирамида, можно по­строить треугольник, стороны которого равны суммам скре­щивающихся ребер этой пирамиды. Докажите.

Докажите, что отрезки, соединяющие середины скре­щивающихся ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке.

Докажите, что сумма квадратов отрезков, которые сое­диняют середины скрещивающихся ребер треугольной пира­миды, в 4 раза меньше суммы квадратов ребер этой пирамиды.

Могут ли все грани пирамиды оказаться прямоуголь­ными треугольниками?

Плоские углы при вершине пирамиды — прямые. Дока­жите, что сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания пирамиды.

Основание пирамиды — параллелограмм, стороны кото­рого 16 и 22 см. Расстояние от вершины пирамиды до центра основания 4 см. Зная, что длины боковых ребер (в сантиметрах) выражаются последовательными нечетными числами, найдите длины боковых ребер пирамиды.

Два боковых ребра пирамиды 13 и 14 см, угол между ними 60°, а между их проекциями 120°. Найдите высоту пирамида.

Основание пирамиды — параллелограмм, периметр ко­торого 48 см. Центр основания удален от вершины пирамиды на 7,5 см, боковые ребра пирамиды 9, 11, 12, 13 см. Найдите стороны основания.

Может ли развертка полной поверхности пирамиды ока­заться: а) равносторонним треугольником; б) квадратом;

в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиуголь­ником; д) трапецией?

6Т. Докажите, что центры всех граней правильной призмы являются вершинами двух равных правильных пирамид с общим основанием.

6в. Докажите, что только прип3 развертка полной по­верхности

п-угольной пирамиды может оказаться выпуклым многоугольником.

©9. Если плоские углы при вершине пирамиды — прямые, то высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Докажите.

Т®. Основание пирамиды — квадрат. Двугранные углы при основании пирамиды относятся, как 1:2:5:2. Найдите вели­чины этих углов.

Боковое ребро правильной треугольной пирамидыМАВСимеет длинуIи образует со стороной основания, которую пересекает, угол в 75°. Паук начал ползти из вершиныАи, по­бывав на всех боковых гранях пирамиды, вернулся в ту же точ­ку (рис. 61). Определите наименьшую возможную длину пути паука.

Сторона основания правильной шестиугольной пира­мидыМАВСВЕРравнаа,угол между боковым ребром и стороной основания, которую оно пересекает, 80°. Паук начал ползти по поверхности пирамиды из точкиАи, побывав на всех боковых гранях, вернулся в точкуА.Определите наименьшую возможную длину пути паука.

Из каждой вершины основания правильной четырех­угольной пирамиды, площадь основания которой равнаО,опущены перпендикуляры на плоскости граней, не содержащих этих вершин. Точки пересечения этих перпендикуляров —К, Ь, М, N(рис. 62). Докажите, что эти точки лежат в одной плоско­сти, и найдите площадь четырехугольникаК^МN.

Если боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны и имеют длиныа, Ъ, с,то высота пирамидыНсвязана с ними соотношением:Н2с

2.Докажите.

Если суммы квадратов скрещивающихся ребер треуголь­ной пирамиды равны, то высоты пирамиды пересекаются в од­ной точке Г Докажите

Площадь поверхности пирамидах

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпен­дикулярны, их длины 2, 4, 16 см. Найдите площадь поверх­ности пирамиды.

Площадь основания треугольной пирамиды равна 56 см 2. Боковые ребра взаимно перпендикулярны, их длины состав­ляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Какую наибольшую площадь поверхности может иметь треугольная пирамида, у которой 5 ребер имеют длину а?

Двугранный угол между смежными боковыми гра­нями правильной четырехугольной пирамиды 120°, площадь основания О. Определите площадь боковой поверхности пи­рамиды.

В правильной шестиугольной пирамиде площадь каж­дого диагонального сечения равна О. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды.

Правильная пирамида и правильная призма имеют общие основание и высоту. Может ли площадь боковой поверх­ности призмы быть меньше площади боковой поверхности пира­миды? Если да,’ то при каком условии?

Может ли площадь одной боковой грани пирамиды быть равной сумме площадей остальных боковых граней? Мо­жет ли она превысить названную сумму площадей? Подкрепите свои соображения примерами.

Площадь боковой поверхности правильной четырех­угольной пирамиды равна сумме площадей основания и диаго­нальных сечений. Найдите величину плоского угла при вер­шине пирамиды.

Из центра основания О правильной четырехугольной пирамиды, площадь поверхности которойО,проведены парал­лельно боковым ребрам пирамиды прямыеОА\, ОВ\, ОС\, ОВ\(рис. 63). Найдите площадь поверхности пирамидыОА1В\С\В\.

Сечение пирамиды

Плоский угол при вершине правильной пирамиды — прямой. Как построить сечение пирамиды плоскостью, прохо­дящей через вершину пирамиды, чтобы оно было равносторон­ним треугольником?

Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь.

Площадь малого осевого сечения правильной четырех­угольной пирамиды О. Найдите площадь сечения, которое пер­пендикулярно стороне основания и делит эту сторону в отно­шении 1:5.

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основа­ния 10 см, а боковое ребро 13 см. Найдите площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани.

Сторона основания правильной четырехугольной пира­мидыМАВСОравна а, боковое реброI.Постройте сечение через середины сторон основанияАВиВСпараллельно ребруМВи определите площадь сечения.

Сторона основания правильной четырехугольной пира­миды 12 см, а боковое ребро 11 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно про­тиволежащей боковой грани.

Периметр основания правильной треугольной пирамиды 45 см, боковое ребро 14 см. Найдите площадь сечения, кото­рое проходит через середину медианы основания перпенди­кулярно этой медиане.

Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю леску параллельной боковой грани про-

о ведено сечение. Докажите, что его площадь больше — площади

Через сторону основания правильной шестиугольной пирамиды и среднюю леску параллельной боковой грани про-

ведена плоскость. Докажите, что площадь сечения больше —

Основание пирамидыМАВСВ —ромб с диагоналямиАС= 24 см,ВО21см. Боковое реброМА18 см перпен­дикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершинуАи середину ребраМСпа­раллельно диагоналиВОоснования (рис. 64).

Параллельные сечения пирамиды

Построены два сечения пирамиды плоскостями, перпен­дикулярными боковому ребру. Относятся ли площади этих сечений как квадраты их расстояний от вершины пирамиды?

Площадь основания пирамиды 128 см 2. Площади двух сечений, параллельных основанию, 18 и 50 см 2. расстояние между плоскостями сечений 12 см. Найдите высоту пирамиды.

Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 35 и 28 см. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вер­шины лежат на основании пирамиды, а 4 — на апофемах пирамиды. Найдите ребро куба.

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см. Высота пирамидыН24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб так, что 4 вершины его лежат на основании пирамиды, а 4 — на боковых гранях, причем боковые грани куба параллельны катетам основания (рис. 65). Найдите ребро куба.

READ  Как Разрезать Лист Металла Болгаркой

Усеченная пирамида

Докажите, что диагонали правильной четырехугольной усеченной пирамиды пересекаются в одной точке.

Площади оснований усеченной пирамиды 75 и 147 см 2. Найдите площадь сечения, проходящего через середины всех боковых ребер.

Диагональ правильной четырехугольной усеченной пи­рамиды имеет длину 15 см и делит отрезок, соединяющий центры оснований, на части в 4 и 5 см. Найдите площади осно­ваний усечённой пирамиды.

Отрезок00\= 27 см, соединяющий центры оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, разделил ее диагональ на части в 20 и 25 см. Найдите площади оснований.

Сторона меньшего основания, боковое ребро и сторона большего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляют арифметическую прогрессию с разностью 4 см. Высота усеченной пирамиды 7 см. Найдите площади оснований.

В правильной шестиугольной усеченной пирамиде отре­зок, соединяющий середину малой диагонали большего осно­вания с центром другого основания, параллелен одному из боко­вых ребер. Как относятся площади оснований усеченной пирамиды?

В правильной треугольной усеченной пирамиде сторо­ны оснований 2 и 5 дм, высота 1 дм. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону меньшего основания параллельно боковому ребру.

Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся, как 1 : 3. Периметр боковой грани равен

периметру одного из оснований. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Центр каждого основания правильной треугольной усеченной пирамиды соединен с вершинами другого основания (рис. 66). Найдите длину косильной лески, которая соединяет попарно точки пересечения построенных отрезков, если периметры осно­ваний усеченной пирамиды равныРиР\.

Площадь поверхности усеченной пирамиды

Стороны основания правильней шестиугольной усечен­ной пирамиды 5 и 11 см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в одной грани, 19 см. Най­дите площадь поверхности усеченной пирамиды.

Сечение, проходящее через середины всех боковых ребер правильной пирамиды, разделило ее на части, площади полных поверхностей которых относятся, как 3 : 11. Определите двугранный угол при основании пирамиды.

Периметры оснований правильной треугольной усечен­ной пирамиды 18 и 36 см. Расстояние от вершины меньшего основания до противолежащей стороны другого основания 7 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пи­рамиды.

Периметры оснований правильной шестиугольной усе­ченной пирамидыАВСВЕРА\В1С\В\Ё\Р\28 и 124 см. Рас­стояние от вершиныА \меньшего основания до прямойСЕравно 17 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пира­миды.

Основания усеченной пирамиды — ромбы с отно­шением сторон 3 : 4 и длинами сторон 15 и 25 см. Одно из боко­вых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно мень­шей диагонали меньшего основания. Найдите площадь по­верхности усеченной пирамиды.

Правильные многогранники

Докажите, что тетраэдр с вершинами в центрах масс граней правильного тетраэдра — правильный. Как относятся площади поверхностей этих тетраэдров?

В каком отношении делятся при пересечении высоты правильного тетраэдра?

Для какихпможно построить сечение октаэдра плос­костью, являющееся правильным ге-угольииком?

Докажите, что градусные меры двугранного угла пра­вильного тетраэдра и угла между смежными гранями октаэдра в сумме составляют 180°.

Точка О — середина высотыМОправильного тетраэдраМАВС.Докажите, что лучиОА, 0В, ОСпопарно взаимно пер­пендикулярны.

Сколько центров симметрии имеют две параллель­ные плоскости? Какую фигуру образуют все эти центры?

Постройте фигуру, симметричную данной треугольной пирамиде относительно центра масс ее: а) основания; б) данной боковой грани.

Постройте фигуру, симметричную дайной правильной га-угольной пирамиде (п 4; 6; 3) относительно середины: высо­ты пирамиды.

121.АВСВА\В\С\В\ —параллелепипед, точкаМ6ал.Постройте отрезокМN,у которого середина находится на плос­костиСС\А,а точкаNлежит на ребреСВ.

Постройте отрезок с концами на ребрахАВиМСи сере­диной на высотеМОправильной пирамидыМАВС.

Докажите, что любую четырехугольную пирамиду можно пересечь плоскостью так, чтобы сечение имело центр симметрия.

Напишите уравнение плоскости, которая симметрична плоскостих у.\- г —3=0 относительно точкиМ(2; 2; 2).

Дан квадратАВСВ свершинамиА(4; 0; 0) иВ(8; 3; 0), плоскость которого параллельна осжОг.Найдите координаты вершин квадрата, который симметричен данному относительно точки (2; 2; 2).

126.МАВСВ —правильная пирамида. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскости основания: а) средней косильной лески боковой грани (два случая); б) отрезку, соединяющему центры масс гранейМАВиМВС;в) граниМАО.

127.АВСА\В\С\ —правильная приема. Постройте фигуру, симметричную относительно плоскостиАВВ\: а) отрезкуВ^’,б) данному отрезку с концами наЕСиА\С\.

13В. Все ребра пирамидыМАВСВравны. Найдите на плос­кости ее основания точку, равноудаленную от точек Р и У, лежа­щих наМАиМС.

ТочкиВиЕнаходятся на боковых гранях правиль­ной пирамидыМАВС.Найдите на плоскостиАВСточку с наи­меньшей возможной суммой расстоянийот В и Е.

ТочкиВиЕнаходятся на высоте треугольной пи­рамидыМАВС.Постройте на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные от точекВиЕ.

ТочкиВ та Енаходятся на стороне основания правиль­ной пирамидыМАВС.Найдите на поверхности пирамиды все точки, равноудаленные отВиЕ.

ТочкиВиЕнаходятся на граняхМАВиМВСпра­вильной пирамиды МЛ.ВС. Постройте равнобедренный треуголь­ник с вершиной наМВ,концами основания наАВиВС,чтобы боковые стороны содержалиВ у. Е.

ТочкиЕиРнаходятся на граняхМАВиМСОправиль­ной четырехугольной пирамидыМАВСО.Постройте равнобокую трапецию, у которой одно основание лежит на основании пирамиды, концы другого — на ребрахМВиМС,а боковые стороны содержат точкиЕиР.

135.АВСВЕРА\В\С\В\Е\Р\ —правильная призма. Построй­те на ее поверхности все точки, принадлежащие плоскости сим­метрии плоскостей:а)АА\В та СС\Р’,б)АА\ВиАА\Е;в)АА\ВиАА\В;г)АА^ВиВВ\С;д)АА^СиВВ^Р; е) АА^ВиВВ\Е;

ж)АА,С иВВ\Р.

Равенство пространственных фигур

Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и боковое ребро одной равны трем сторонам осно­вания и боковому ребру другой? Если нет, то какое нужно до­полнительное условие, чтобы утверждать, что призмы равны?

Две пирамиды имеют равные высоты, их общее осно­вание — квадратАВСО.Докажите, что эти пирамиды равны, если их вершины ортогонально проектируются: а) в точкиАи С; б) середины двух сторон квадрата.

138.авсва\в[с\в\куб. Докажите, что пирамидыАВСВ\и1)В\С\В\равны.

Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных призм. Обоснуйте эти признаки.

Сформулируйте несколько признаков равенства пра­вильных пирамид. Обоснуйте эти признаки.

Докажите, что две треугольные призмы равны, если их боковые грани соответственно равны.

Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их боковых граней соответственно равны?

143.МАВСВЕР —правильная пирамида. Докажите равен­ство пирамид: а)МАВСиМВЕР;б)МВСЕиМАРВ.

144.АВС^ЕРА^В^С^^^Е^Р^ —правильная призма. Рав­ны ли пирамиды: а)С^ВСВиЕЕ\В\Р^,б)А^АВРиС\СВЕ;

в)ВАА^ВиА^СС^ВЧ

Какую фигуру образуют все точки, удаленные от дан­ной прямойI на. а иравноудаленные от данных точекАи В?

Постройте изображение вписанных в окружность пра­вильного восьмиугольника и правильного двенадцатиуголь­ника.

Изобразите вписанный в окружность прямоугольный треугольник с отношением катетов 2 : 3.

Изобразите две равные хорды окружности, пересекаю­щиеся в данной точкеМпод прямым углом.

Изобразите две равные хорды окружности, пересекаю­щиеся в данной точкеМпод углом в 60°.

Постройте касательную к данному эллипсу в данной точке этого эллипса.

Постройте изображения описанных около окружности ромба с углом 45° и равнобокой трапеции с углом 45° при боль­шем основании.

Вершины прямоугольника лежат на окружностях осно­ваний цилиндра, у которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Зная, что стороны прямоугольника относятся, как 1 : 4, найдите его площадь.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна сумме его радиуса и высоты. Найдите отношение сторон осевого сечения цилиндра.

Диаметр барабана лебедки 530 мм, его длина 727 мм. За время работы на барабан наматывается 225 м троса диамет­ра 17 мм. Во сколько слоев наматывается трос?

Около данного цилиндра опишите правильную четырех­угольную пирамиду, высота которой вдвое больше высоты цилиндра.

Высота и основание равнобедренного треугольника 8 и 6 см. Цилиндр касается всех сторон треугольника, его обра­зующие наклонены к плоскости треугольника под углами по 30°. Найдите радиус цилиндра.

Найдите радиус равностороннего цилиндра, у которого ось лежит на диагонали куба с реброма,а каждая из окруж­ностей оснований касается трех граней куба, имеющих об­щую вершину.

В равносторонний конус, образующая которогоI,впи­сана правильная шестиугольная призма, боковая грань кото­рой — квадрат. Найдите площади диагональных сечений призмы.

Диагональ октаэдра с ребромаявляется высотой конуса, на поверхности которого находятся 4 ребра октаэдра (рис. 67). Найдите площадь осевого сечения конуса.

Радиус основания конуса 9 см, высота 7 см. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?

Наибольшая возможная площадь сечения конуса плос­костью, проходящей через вершину конуса, вдвое больше пло­щади осевого сечения. Найдите угол между образующей и плос­костью основания конуса.

В конус вписана правильная треугольная призма, все ребра которой равныа.Четыре вершины призмы лежат на

окружности основания, а две на боковой поверхности конуса (рис. 68). Найдите высоту конуса.

Ребро кубаАВСВА\В\С\В\равноа.ДиагональАС\со­держит высоту равностороннего конуса с вершинойА.Окруж­ность основания конуса касается трех граней куба с общей точ­кой С1. Найдите образующую конуса.

Основание конуса находится на граниАВСВкубаАВСВА\В\С\В\, укоторого реброа.Вершина конуса находится в центре граниА\В\С\В\.Найдите радиус основания конуса, зная, что боковая поверхность касается прямой, которая про­ходит через: а)В\и серединуВС;б) В и серединуВС\;в) сере­диныВСиВЁ1(рис. 69).

Усеченный конус

Какую фигуру образуют середины диагоналей всех осевых сечений усеченного конуса?

Какую фигуру образуют середины всех отрезков, у каж­дого из которых концы находятся на окружностях оснований усеченного конуса?

Радиусы оснований усеченного конуса 25 и 16 см. В осе­вое сечение этого усеченного конуса можно вписать окружность. Определитееерадиус.

Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится

осью усеченного конуса на части в 13 — и 26 — см. Зная,

что образующая усеченного конуса 26 см, найдите радиусы оснований.

Два конуса, у которых радиусы оснований 10 и 15 см, имеют общую высоту, их плоскости оснований не совпадают. Найдите длину окружности, по которой пересекаются поверх­ности этих конусов.

Сфера и шар

Какую фигуру образуют основания перпендикуляров, опущенных из данной точкиАна все плоскости, проходящие через данную точку В?

Из точкиМк данному шару можно провести три взаим­но перпендикулярные касательные. Какую фигуру образуют все такие точки М?

Какую фигуру образуют вое точки, удаленные на о от данной сферы радиуса Ь?

Какую фигуру образуют центры всех сфер радиусаВ,касающихся: а) данной плоскости 6^ б) двух данных плоскостей?

Даны плоскость б и точкаМвне ее. Какую фигуру обра­зуют центры сфер радиусаВ,которые проходят через точку М и касаются плоскости б?

Докажите, что касательные, проведенные из данной точки к данной сфере, имеют равные длины.

Плоскость 6 касается шара в точкеА.На продолжении диаметраАВ=авзята такая точка С, чтоВСЬ,в ней поме­щен точечный источник света. Найдите площадь тени шара на плоскость 6.

ДиаметрыАВ, СВ, ЕРсферы взаимно перпендикуляр­ны. Каждый из них разделен направных частей, через точки деления проходят плоскости, перпендикулярные к этому диаметру. На сколько частей эти плоскости разделили сферу, если: а)п4; б)п6; в)п.-=-5; г)п8?

В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпен­дикулярных сечения, радиусы которых откосятся, как 2 : 3. Зная, что общая хорда этих сечений 2 см, найдите площади сечений.

В шаре построены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых 185л и 320я см 2. Определите радиус шара, если общая хорда этих сечений имеет длину 16 см.

Изобразите вписанную в сферу треугольную пирамиду, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны.

В сферу радиусаНвписана правильная шестиугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, обра­зует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды — прямой, сторона основанияа.Найдите радиус описанной сферы.

Докажите, что радиус сферы, описанной около пирами-

ды, у которой высотаН,а каждое боковое реброI,равен.т

Установите, при каком соотношении междуIиНцентр описан­ной сферы находится внутри пирамиды.

У треугольной пирамидыМАВС: МА ВС=16 см,МВАС=з 19 см,МСАВ21 см. Определите радиус опи­санной сферы.

Радиусы окружностей, описанных около основания и около боковой грани правильной треугольной пирамиды, 8 и 7 см. Найдите радиус описанной сферы.

В прямую четырехугольную призму можно вписать шар. Верно ли, что суммы площадей ее противолежащих боко­вых граней равны?

Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.

Все ребра четырехугольной пирамиды равныа.Найди­те радиус сферы, которая касается всех ребер пирамиды.

Каждое ребро тетраэдра имеет длинуа.Найдите ра­диус сферы, которая касается всех ребер тетраэдра.

В конус, у которого радиус основания 9 см, а образую­щая 15 см, вписан шар. Найдите длину косильной лески, по которой касаются их поверхности.

Сфера и ее уравнение

Радиусы двух шаров 17 и 25 см. Длина косильной лески, по ко­торой пересекаются поверхности шаров 30л см. Определите рас­стояние между центрами шаров.

Имеется обломок шара. На основании каких построе­ний и измерений вы могли бы определить его радиус?

Установите взаимное расположение сфер х 2у2г 2 = 4 их2у 2г224ж. 12у 16г. 168 = 0.

Установите взаимное расположение сферых2у 2 4- 2 2 16 и плоскости2х — 2у2 — 12 0.

Напишите уравнение сферы, которая проходит через точки (2; 3; 4) и (3; —1; 5) и касается плоскостиху.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Как, разрезав на две части, сложить куб из прямо­угольного параллелепипеда, измерения которого: а) 4, 6, 9 см;

б) 9, 12, 16 см; в) 16, 20, 25 см?

На какое наименьшее число частей можно разрезать куб, чтобы из этих частей можно было сложить призму, осно­вание которой: а) прямоугольная трапеция; б) равнобокая тра­пеция?

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у ко­торого расстояния от центра до ребер равны 13, 20, 21 см.

На ребрахАА\иВВ\прямоугольного параллелепипедаАВСВА\В\С\В\даны точкиМиN.Постройте плоскость, которая проходит через эти точки и делит параллелепипед на равные части.

Решите задачу 199 для случая, когда точки даны на смежных боковых гранях.

Длины ребер четырех кубов (в сантиметрах) выражены последовательными целыми числами. Объем одного куба равен сумме объемов остальных. Определите длины ребер этих кубов.

Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипе­дов с данной длиной диагонали наибольший объем имеет куб, используя теорему: «Произведение трех положительных чисел, сумма которых постоянна, имеет наибольшую величину, когда эти числа равны».

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого периметры трех граней 36, 40, 48 см.

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, у ко­торого длина диагонали 81 см, а измерения относятся, как 7 : 14 : 22.

Объем прямого параллелепипеда

В прямом параллелепипедеАВС^А\В\С^^\диагоналиАС\иВ^\взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 дм. Зная, чтоВС3 дм, найдите объем параллелепипеда.

Двугранный угол между боковыми гранями прямого параллелепипеда 60°, площади диагональных сечений 56 и 72 см 2. длина бокового ребра 4 см. Найдите объем паралле­лепипеда.

Расстояния от центра прямого, параллелепипеда до основания и боковых граней 9, 8, 6 см. Периметр основания Р = 70 см. Определите объем параллелепипеда.

Площадь поверхности прямого параллелепипеда 176 см 2. Расстояния от центра параллелепипеда до его граней 1, 2, 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда

Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторо­нами о иЬ.Боковое ребро равноIи образует со сторонами осно­вания углы в 45° и 60°. Найдите объем параллелепипеда.

Каждая грань параллелепипеда — ромб с диагоналями 6 и 8 дм. Плоские углы при одной вершине — острые. Найдите объем параллелепипеда.

Объем призмы

Площадь основания правильной четырехугольной призмы О. Длины диагоналей двух граней относятся, как 1 : 3.

Найдите объем призмы.

Железобетонная силосная башня из стандартных плит имеет форму правильной призмы, у которой расстояние от прямой, проходящей через центры оснований, до стен 3,65 м. Зная, что объем стен составляет 6,45 % полезного объема,

определите толщину стен.

Даны две одноименные правильные призмы. У одной сторона основанияа,боковое реброЬ,у другой сторона основа­нияЬ,боковое реброа (аЬ).У какой из призм объем больше?

Две одноименные правильные га-угольные призмы равновелики. У какой из них больше площадь боковой поверхности

Поперечное сечение канала — трапеция (без верхнего основания), дно и стенки канала длиной по о. При какой ве­личине угла между дном и стенками канала его пропускная способность будет наибольшей?

Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы ‘О. Плоскость проходит через боковое ребро и делит призму на части, объемы которых относятся, как 1 : 3. Найдите площадь сечения.

Высота правильной шестиугольной призмыН.Угол между двумя равными диагоналями призмы, проведенными из одной вершины, 30°. Найдите объем призмы.

Основание прямой призмы — трапеция, периметр которой 58 см. Площади параллельных боковых граней 96 и 264 см 2. а площади двух других боковых граней 156 и 180 см 2. Найдите объем призмы.

Основанием прямой призмы является трапеция, площадь которой 306 см 2. Площади параллельных боковых граней 40 и 300 см 2. а площади других боковых граней 75 и 205 см 2. Найдите объем призмы.

Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 65 см. Площади боковых граней относятся, как 63 : 52 ; 39 : 16. Диагональ наименьшей боковой грани 40 см. Найдите объем призмы.

В цилиндр высоты 12 см вписана шестиугольная призма, у которой три стороны, взятые черве одну, имеют длины по 3 см, остальные стороны основания — по 5 см. Найди­те объем призмы,

В цилиндр высоты 8 см вписана восьмиугольная призма, у которой длины четырех сторон основания, взятых через одну, по 2 см, а остальных сторон основания — по 3 см. Найдите объем призмы.

В сферу радиуса Л вписана правильная треугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, накло­нен к плоскости боковой грани под углом к. Найдите объем призмы.

Объем пирамиды

Стороны основания треугольной пирамиды 15, 16, 17 см. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 45°, Найдите объем пирамиды.

226, Длина каждого бокового ребра пирамиды 65 см. Ее ос­нование — трапеция с длинами сторон 14, 30, 50, 30 см. Найди­те объем пирамиды.

Длин» каждого бокового ребра пирамиды 35 см, сторо­ны основания 20, 34, 60, 66 см. Найдите объезд пирамиды.

Высота правильной вдестиуролной пирамиды Я, Рас­стояние от середины высоты де бокового ребрау4 раза меньше стороны основания. Найдите объем пирамиды.

Длина пятке ребер треугольной пирамиды не более 2 см. Докажите, что объем пирамиды не более 1 см 3.

Докажите, что объем треугольной пирамиды меньше

— квадратного корня из произведения длин всех ребер пира­миды.

Стороны основания усеченной ‘ треугольной призмы 28, 45, 53 см, а боковые ребра перпендикулярны основанию и равны 13, 14, 15 см. Найдите объем усеченной призмы (рис. 70).

Если плоскость, не параллельная плоскости основания призмы, пересе­кает все боковые ребра призмы, то полученные части приемы будем называть усеченными призмами.

Докажите, что объем усеченной треугольной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на среднее арифметическое длин боковых ребер.

Стороны основания прямого параллелепипеда 6 и 8 см, угол между ними 30°. Плоскость отсекает на трех боко­вых ребрах отрезки в 8, 10, 11 см. Найдите объем той части призмы, которая заключена между основанием и плоскостью сечения.

Основание прямой призмытрапеция, у’ которой стороныАВСО13 см,ВС= 18 см,АТ28 см. Плос­кость проходит через точку С и отсекает на ребрахВВ\иВВ\от­резки по 9 см. Найдите объем части призмы между основанием и проведенным сечением.

В параллелепипедеАВСВА\В\С\0\точкаК —середина ребраАА\,точка М — середина ребраСС\, ВВ\=а, КВ\Ъ, МВ\ с,причемВВ\, КВ\и МВ1 попарно взаимно перпенди­кулярны. Найдите объем параллелепипеда.

Развертка поверхности пирамиды — квадрат со сторо­нойа.Найдите объем пирамиды.

Длины сторон основания треугольной пирамиды 32, 34, 34 см. Периметры двух равных боковых граней по 150 см, третьей — 162 см. Найдите объем пирамиды.

Даны тетраэдрыМАВСиМ\А \В\С\, укоторых трехгран­ные углы с вершинами М и М1 равны. Докажите, что объемы этих тетраэдров относятся, как произведения длин ребер равных трехгранных углов.

Через сторону основания и среднюю леску противоле­жащей боковой грани правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые плоскость разделила пирамиду.

Через сторону основания и середину высоты правиль­ной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые при этом разделилась пирамида.

Развертка пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 18 см и высотой, проведенной к основанию, 12 см. Найдите объем пирамиды.

Докажите» что объем правильной пирамиды меньше

-у куба длины ее бокового ребра.

Каждое боковое ребро пирамидыМАВСВравноI.Известно, что ^АМВ = /-. ВМС^.АМС90°,^ АМО = ^ СМВ.Найдите объем пирамиды.

Основание пирамиды — трапеция (или треугольник) со средней линиейАВ,вершина пирамиды М,О— середина сто­роны, параллельной средней косильной лески. Докажите, что объем

пирамиды равен — произведения площади сеченияМАВна з

расстояние от точки О до плоскостиМАВ(рис. 71).

Основания многогранника лежат в параллельных плоскостях, все остальные грани — треугольники или трапе­ции, все вершины которых лежат на основаниях. Докажите,

что объем многогранникаV = —((?1Ог4у»

Докажите, что объем шарового сегмента равен яй 2 (л.з- )где и — радиус шара, аН —высота сегмента.

В конус, у которого радиус основания 6 см, а образую­щая 10 см, вписан шар. Через леску касания этих тел прове­дена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит шар.

Шар радиуса 9 см плавает в воде, высота выступаю­щей из воды части 6 см. Найдите плотность материала, из кото­рого сделан шар.

Сосуд в форме полушара наполнен водой. Какая часть воды выльется, если сосуд наклонить на: а) 30°; б) 45°?

Высота равностороннего конуса равнаНи является диаметром шара. Найдите объем той части шара, которая лежит вне конуса.

READ  Как разрезать толстый поролон в домашних условиях

Площадь поверхности цилиндра

Все ребра правильной треугольной призмы равныа.Боковые ребра являются осями цилиндрических поверхностей

радиуса.^-. Вычислите площадь поверхности тела, ограничен­ного названными цилиндрическими поверхностями и основа­ниями призмы.

В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры боковых граней 30, 45, 56, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений призмы содержит ось цилиндра, най­дите площадь полной поверхности цилиндра.

Длина ребра кубаа.Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали куба. Каждая окружность основания цилиндра касается трех граней куба. Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.

Площадь поверхности конуса

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Площади их полных поверхностей относятся, как 7 : 4. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

В конус вписана четырехугольная пирамида, у которой периметры боковых граней 78, 94, 104, 112 см. Одно из диаго­нальных сечений пирамиды содержит высоту конуса. Найдите площадь поверхности конуса.

КвадратАВСВплощадью 120 см 2. согнув, поместили на поверхности конуса. При этом диагональАСсовпала с об­разующей, а диагональВОоказалась на боковой поверхности конуса и концы ее совпали (рис. 74). Определите объем и пло­щадь поверхности конуса.

Радиус полушараН.На основании полушара построен конус, каждая образующая которого делится поверхностью полушара в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найдите пло­щадь поверхности этого конуса.

В сферу радиуса Л вписан конус наибольшего воз­можного объема. Определите площадь поверхности этого конуса.

Радиус основания конуса Л. Сфера касается основания конуса и делит каждую образующую конуса на три равные части. Найдите площадь поверхности конуса.

Площадь поверхности шара

Ребро кубаа.Найдите площадь сферы, которая про­ходит через все вершины одной грани и касается параллель­ной грани куба.

В куб, длина ребра которогоа,вписана сфера. Найди­те площадь сферы, которая касается вписанной сферы и трех граней куба.

Развертка боковой поверхности треугольной пирами­ды — квадрат со стороной а. Найдите площадь сферы, вписан­ной в эту пирамиду.

Докажите, что площадь сферической поверхности шаро­вого сегмента82этЛН, где Л — радиус шара, а Н — высота сегмента.

Высота правильного тетраэдраН =12 см. Точка, равно­удаленная от всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Определите площадь той части сферы, которая находится внутри тетраэдра.

Радиусы двух шароваи2а.Центр меньшего шара находится на поверхности большего. Найдите объем и площадь поверхности общей части этих шаров.

Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое ребро призмы проведена плоскость, раз­делившая призму на части с отношением объемов 1 : 5. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость разделила сферу?

Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое ребро призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с отношением объемов 1 : 2. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость делит сферу?

Как разрезать пятиугольник на 4 остроугольных треугольника

Разрезание многоугольников одной прямой (уровни 1-2).

Задачи этой серии можно предлагать ребенку с тех пор, как он научится отличать квадрат от треугольника. Можно взять ножницы и в его присутствии одним движением руки превратить квадрат в два треугольника. (Хорошо, если он этому обрадуется!). Поэтому задачи этого раздела начинаются с совсем простых. Очень сложных задач в этой теме нет, зато она позволяет провести маленькое научное исследование. К последним задачам можно изредка возвращаться «под разными соусами» в течение нескольких лет.

Каждая их этих задач состоит из нескольких коротеньких. Не спешите задавать их все сразу, особенно если ребенок мал.

Задача 1Разрезать треугольник одной линией на (а)два треугольника; (б) треугольник и четырехугольник.

Чем меньше ребенок, тем больше должен быть треугольник. Для маленьких хорошо, чтобы он был вырезан, а не нарисован: так понятнее, что такое угол. Требуйте, чтобы дети сначала проводили леску карандашом или ручкой (можно по линейке, а можно и без; маленьким детям линейка. дополнительная сложность, а большие должны уже рисовать более-менее прямую леску и без нее). Когда правильный рисунок готов, можно в качестве поощрения действительно разрезать фигуру ножницами и убедиться, что все нужные углы на месте.

Задача 2Вопрос для больших детей: а почему не может получиться пятиугольник?

Задача 3Разрезать четырех- (пяти-, шести-) угольник одной линией на два четырехугольника (треугольник и пятиугольник )

Таких задач нужно много. Естественно, нужно давать выполнимые задания, по крайней мере пока Ваши ученики не будут готовы отличить возможную комбинацию от невозможной. Хотя, если Вы попроситеразрезатьодной линией квадрат на два пятиугольника, даже малыши, наверно, возмутятся. Между прочим, эту задачу можно задавать и с невыпуклыми многоугольниками – решение принципиально такое же, но увидеть его сложнее.

Когда наберется некоторый опыт, можно обобщить задачу:

Задача 4Выпуклый четырехугольник (5-,6-угольник) разрезают одной линией: что может получиться? Перечислить все возможные комбинации получающихся многоугольников (и нарисовать соответствующие разбиения).

Когда эта задача решена, впору задавать вопрос про n-угольник. Но дети еще, скорее всего, не доросли до алгебры и не понимают, что это такое (даже если они уже знают слово «икс» ). Поэтому лучше спросить так:

Задача 5Какие пары многоугольников могут получиться, если разрезать выпуклый 10-угольник?

Немного более простой вариант примерно той же задачи:

Задача 6С углами многоугольников все обстоит не так просто: при разрезании их суммарное количество почему-то не сохраняется. Как оно может меняться?

В предыдущих задачах мы часто повторяли слово «выпуклый». В разговоре с детьми мы этого, естественно, не делали – хотя бы потому, что определять понятие выпуклости – отдельное развлечение. Чтобы избежать двусмысленности, можно всегда нарисовать и обсуждать конкретный многоугольник. Но когда-то нужно и вспомнить, что многоугольники бывают не только выпуклые.

Задача 7Нарисовать четырехугольник и разрезать его одной линией на три части.

Дети, наученные предыдущими задачами, скорее всего, начнут доказывать, что это невозможно. Тем интереснее! Если они упорствуют, в качестве подсказки можно задать вопрос: для каких четырехугольников предыдущие результаты не работают? Может, это какой-то необычный четырехугольник?.

В другой раз можно сформулировать фактически ту же задачу по-другому:

Задача 8Как одним взмахом ножниц сделать из четырехугольника шестиугольник?

А можно и еще страшнее – из 7-угольника – 10-угольник А еще через некоторое время можно поставить вопрос так:

Задача 9Какой как-можно-больше-угольник можно получить из шестиугольника одним разрезанием?

Можно попробовать обобщить эту задачу на произвольное число углов.

Как разрезать пятиугольник на 4 остроугольных треугольника

Задача 1:Как разрезать прямоугольник 4 × 9 на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Задача 2:Дан круг и отмечена точка внутри него. На какое минимальное количество частей можно разрезать этот круг так, чтобы из получившихся частей можно было сложить круг, в котором отмеченная точка является центром.

Задача 3:Разрежьте уголок, составленный из трёх клеток. на четыре равные по форме части.

Задача 4:С помощью разрезаний и перекладываний сделайте из фигуры «крест» фигуру «конфета» (см. рисунок).

Задача 5:Разрежьте тетраминошку на пять частей и сложите из них два равных квадрата.

Задача 6:Сделайте из квадрата четыре равных прямоугольника и один квадрат

a) с помощью разрезаний и перекладываний;

b) с помощью только разрезаний.

Задача 7:a) Можно ли разрезать квадрат на 100 равных четырёхугольников, не являющихся прямоугольниками? б) Можно ли разрезать квадрат на 2000 равных треугольников?

Задача 8:Можно ли сложить квадрат из фигурок ? Фигурки можно брать в неограниченном количестве. А если длинная сторона уголка равна n клеткам?

Задача 9:Можно ли замостить плоскость одинаковыми a) пятиугольниками; б) шестиугольниками; в) семиугольниками?

Задача 10:Разрежьте квадрат на два одинаковых а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) 2n-угольника; г) 2n 1-угольника. Можно ли разрезать так прямоугольник? Для каких еще фигур годится этот алгоритм?

Задача 11:Можно ли разрезать на четыре остроугольных треугольника a) какой-нибудь пятиугольник; б) правильный пятиугольник?

Задача 12:

На картинках приведены фигуры на клетчатой бумаге. Ваша задача – разрезать каждую фигуру на две одинаковых (по форме и размерам) части.

(Фигурку, похожую на ракету надо разбить на четыре одинаковые части)

Как разрезать пятиугольник на 4 остроугольных треугольника

Разрежьте правильно на части

729.Как данный прямоугольник следует разрезать на две такие части, чтобы из них можно было сложить: 1) треугольник, 2) параллелограмм (отличный от прямоугольника), 3) трапецию?

730.Дан прямоугольник, основание которого в два раза больше высоты. 1) Как нужно разрезать данный прямоугольник на две части, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник? 2) Как нужно разрезать данный прямоугольник на три части, из которых можно было бы составить квадрат?

731.Как можно равносторонний треугольник разрезать на: 1) два равных треугольника; 2) три равных треугольника; 3) четыре равных треугольника; 4) шесть равных треугольников; 5) восемь; 6) двенадцать?

732.Даны два равных квадрата. Как разрезать каждый из них на две части так, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат?

733.Как данный прямоугольник двумя прямолинейными разрезами разбить на два равных пятиугольника и два равных прямоугольных треугольника?

734.Даны два неравных квадрата. Как их следует разрезать на такие части, чтобы из них можно было сложить третий квадрат? Как выражается длина стороны третьего квадрата через длины сторон двух данных?

735.Прямоугольная плитка шоколада состоит из mn единичных квадратных долек. Сколько разломов нужно сделать (одновременно ломается один кусок), чтобы разломить эту плитку на единичные квадратные дольки?

736.Сколько нужно сделать разрезов плоскостями так, чтобы из куба с ребром в 3 дм получить кубики с ребром в 1 дм?

737.Дан прямоугольный треугольник. Как следует разрезать его на две такие части, чтобы из них (не переворачивая обратной стороной) можно было сложить треугольник, симметричный данному относительно одного из его катетов?

738.Дан треугольник ABC. Как следует разрезать его на части так, чтобы из них (не переворачивая обратной стороной) можно было сложить треугольник, симметричный данному относительно основания АС?

739.Разрежьте квадрат на части, как показано на рисунке 49, перемешайте их и затем сложите: 1) такой же квадрат; 2) прямоугольный равнобедренный треугольник; 3) прямоугольник, отличный от квадрата; 4) параллелограмм, отличный от прямоугольника; 5) трапецию.

740.Окрашенный куб с ребром в 10 см распилили на кубики с ромбом в 1 см. Сколько получится кубиков: 1) с одной окрашенной гранью; 2) с двумя; 3) с тремя; 4) совсем не имеющих окрашенных граней?

741.Как разрезать на две части прямоугольник со сторонами 16 и 9 см так, чтобы из них можно было сложить квадрат? (Разрез может быть в виде ломаной косильной лески.)

742.Скопируйте каждую из фигур рисунка 50 и разрежьте ее на 4 равные части.

743.1) Как данный прямоугольный треугольник разрезать на остроугольные треугольники? 2) Как данный произвольный треугольник разрезать на остроугольные треугольники?

744.Внутри выпуклого стоугольника отмечены 10 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники так, что вершинами их служат все вершины данного стоугольника и все данные десять точек. Сколько получится треугольников?

Конспект урока по математике » Треугольники»

УМК « Планета Знаний»

Математика 2 класс

Тема: «ТРЕУГОЛЬНИКИ»

Цели деятельности учителя:познакомить с видами треугольников (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равносторонний); содействовать развитию умения различать виды треугольников на чертеже, определять площадь фигур по клеткам,разрезатьпрямоугольник на два треугольника.

Планируемые результаты образования.

Предметные:умеют различать прямой, острый и тупой углы на рисунках, распознавать прямоугольный треугольник, определять площадь прямоугольника (в условных единицах с опорой на иллюстрации).

Метапредметные (критерии сформированности/оценки компонентов универсальных учебных действий – УУД):регулятивные: организуют взаимопроверку выполненной работы; планируют собственную вычислительную деятельность; познавательные: экспериментируют с треугольниками (количество прямых и тупых углов); выполняют вычисления по аналогии; вычисляют площадь многоугольной фигуры, разбивая ее на прямоугольники; конструируют фигуры из частей прямоугольника; коммуникативные: отвечают на вопросы, задают вопросы, уточняют непонятное.

Ход урока

I. Актуализация знаний. Устный счет.

Вокруг домика крот построил треугольный забор. Длина самой маленькой стороны забора равна 3 см, самой большой – 5 см. Чему равна третья сторона, если периметр треугольника равен 12 см?

В четырехугольнике проведите 2 отрезка так, чтобы он делился:

на 3 треугольника; на 4 треугольника.

Посчитайте, сколько треугольников на каждом рисунке.

II. Сообщение темы урока.

– Рассмотрите фигуры на доске.

– Какая фигура «лишняя»? (Треугольник.)

– Сегодня на уроке мы будем определять виды треугольников, чертить геометрические фигуры.

III. Изучение нового материала.

Работа по учебнику.

Задание 1. Рассмотрите рисунки. Что их объединяет? Прочитайте текст учебника. Что такое «трилистник», «трилогия», «треух», «триптих», «треугольник».

– Придумайте слова, в которых встречается слово «три».

Задание 2. Назовите виды углов. (Прямой, тупой, острый.) Как называется треугольник, в котором есть прямой угол? (Прямоугольный треугольник.)

– Как называется треугольник с тупым углом? (Тупоугольный треугольник.)

– Как называется треугольник, у которого все углы острые? (Остроугольный треугольник.)

– Сколько на рисунке прямоугольных треугольников? (Три треугольника.)

– Назовите номера прямоугольных треугольников. (3, 9, 6.) Сложите эти числа. (3 9 6 = 18.)

– Сколько на рисунке тупоугольных треугольников? (Три треугольника.)

– Назовите номера тупоугольных треугольников. (1, 8, 5.) Сложите эти числа. (1 8 5 = 14.)

– Сколько на рисунке остроугольных треугольников? (Три треугольника.)

– Назовите номера остроугольных треугольников. (2, 4, 7.) Сложите эти числа. (2 4 7 = 13.)

Задание 3. Попробуйте нарисовать треугольник с двумя прямыми углами. (Пробуют.) Возможно ли это? (Нет.)

– Как вы думаете, сколько острых, тупых и прямых углов может быть в одном треугольнике?

Выводы.

В прямоугольном треугольнике один угол прямой и два острых угла.

В тупоугольном треугольнике один угол тупой и два острых угла.

В остроугольном треугольнике все углы острые.

Задание 4. Измерьте стороны данных треугольников. Что вы заметили? (У этих треугольников все стороны равны.)

Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Вывод. Все равносторонние треугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разные размеры.

– Каким является равностороннийтреугольник– прямоугольным, остроугольным или тупоугольным? (Остроугольным.)

Задание 5. Прямоугольник разрезали на два одинаковых прямоугольных треугольника. Какие фигуры можно сложить из этих треугольников? (Треугольники большего размера.)

– Какая у них будет площадь? (12 клеток.)

Задание 6. Сколько клеток занимают домики вместе с крышей? (12; 12; 15; 11; 14; 15.)

Задание 7 (работа в парах).

IV. Практическая фронтальная работа.

Рассмотрите фигуры и найдите «лишнюю». Назовите общий признак оставшихся фигур.

(Лишний – прямоугольник. Все оставшиеся фигуры незамкнутые.)

(Лишний – круг. Остальные фигуры имеют стороны и углы.)

(Лишние – часы. Остальные – геометрические фигуры.)

Графический диктант: 1 кл. вправо, 2 кл. вправо вверх по диагонали, 2 кл. влево, 2 кл. вправо вниз по диагонали, 1 кл. вправо и т. д. Продолжите узор до конца строки.

Построение пятиугольника циркулем

– Проверим, что за леску мы начертили. Что вы можете о ней сказать? (Ломаная, незамкнутая, самопересекающаяся.)

– Какая фигура получилась при пересечении? (Треугольник.)

– Назовите его признаки. (3 угла, 3 вершины, 3 стороны.)

– Как называются треугольники, у которых все стороны равны?

На доске группа треугольников. После ответа детей прикрепляется табличка «Равносторонние».

– Как называются треугольники, у которых две стороны равны? (Равнобедренные.)

– А если все три стороны разной длины? (Разносторонние.)

– А какие углы вы знаете?

– Как можно получить прямой угол? А как проверить?

– Какой угол называется острым? Тупым?

– Сложите из счетных палочек прямой, острый и тупой углы. Проверьте друг друга.

К доске выходят 3 ученика в шапочках-«треугольниках» и читают:

Ты на меня, ты на него, на всех нас посмотри:

У нас всего, у нас всего, у нас всего по три!

Три стороны и три угла и столько же вершин,

И трижды трудные дела мы трижды совершим.

Все в нашем городе – друзья, дружнее не сыскать.

Мы треугольников семья, наc каждый должен знать!

V. Итог урока.

– Назовите признаки треугольника; виды треугольников.

VI. Рефлексия

Просмотр содержимого документа
«конспект урока по математике » Треугольники»»

УМК « Планета Знаний»

Математика 2 класс

Тема: «ТРЕУГОЛЬНИКИ»

Цели деятельности учителя:познакомить с видами треугольников (прямоугольный,остроугольный, тупоугольный, равносторонний); содействовать развитию умения различать виды треугольников на чертеже, определять площадь фигур по клеткам, разрезать прямоугольник на два треугольника.

Планируемые результаты образования.

Предметные:умеютразличать прямой, острый и тупой углы на рисунках, распознавать прямоугольный треугольник, определять площадь прямоугольника (в условных единицах с опорой на иллюстрации).

Метапредметные (критерии сформированности/оценки компонентов универсальных учебных действий – УУД):регулятивные:организуют взаимопроверку выполненной работы; планируют собственную вычислительную деятельность;познавательные:экспериментируют с треугольниками (количество прямых и тупых углов); выполняют вычисления по аналогии; вычисляют площадь многоугольной фигуры, разбивая ее на прямоугольники; конструируют фигуры из частей прямоугольника;коммуникативные:отвечают на вопросы, задают вопросы, уточняют непонятное.

I. Актуализация знаний. Устный счет.

Вокруг домика крот построил треугольный забор. Длина самой маленькой стороны забора равна 3 см, самой большой – 5 см. Чему равна третья сторона, если периметр треугольника равен 12 см?

В четырехугольнике проведите 2 отрезка так, чтобы он делился:

на 3 треугольника; на 4 треугольника.

Посчитайте, сколько треугольников на каждом рисунке.

II. Сообщение темы урока.

– Рассмотрите фигуры на доске.

– Какая фигура «лишняя»?(Треугольник.)

– Сегодня на уроке мы будем определять виды треугольников, чертить геометрические фигуры.

III. Изучение нового материала.

Работа по учебнику.

Задание 1. Рассмотрите рисунки. Что их объединяет? Прочитайте текст учебника. Что такое «трилистник», «трилогия», «треух», «триптих», «треугольник».

– Придумайте слова, в которых встречается слово «три».

Задание 2. Назовите виды углов.(Прямой, тупой, острый.)Как называется треугольник, в котором есть прямой угол?(Прямоугольный треугольник.)

– Как называется треугольник с тупым углом?(Тупоугольный треугольник.)

– Как называется треугольник, у которого все углы острые?(Остроугольный треугольник.)

– Сколько на рисунке прямоугольных треугольников?(Три треугольника.)

– Назовите номера прямоугольных треугольников.(3, 9, 6.)Сложите эти числа.(3 9 6 = 18.)

– Сколько на рисунке тупоугольных треугольников?(Три треугольника.)

– Назовите номера тупоугольных треугольников.(1, 8, 5.)Сложите эти числа.(1 8 5 = 14.)

– Сколько на рисунке остроугольных треугольников?(Три треугольника.)

– Назовите номера остроугольных треугольников. (4, 4, 7.)Сложите эти числа.(3.2 4 7 = 13.)

Задание 3. Попробуйте нарисовать треугольник с 2-мя прямыми углами.(Пробуют.)Есть ли возможность это?(Нет.)

– Как вы принимаете решение, сколько острых, тупых и прямых углов для вас больше понравятся в одном треугольнике?

Выводы.

В прямоугольном треугольнике один угол прямой и два острых угла.

В тупоугольном треугольнике один угол тупой и два острых угла.

В остроугольном треугольнике что остается сделать нашему клиенту углы острые.

Задание 4. Обусловьте стороны данных треугольников. Что вы узрели?(У этих треугольников нашему клиенту остается стороны равны.)

Треугольник, у которого нашему клиенту остается стороны равны, называют равносторонним.

Вывод.Нашему клиенту остается равносторонние треугольники имеют родственную форму, но имеют разные размеры.

– Каким является равносторонний треугольник – прямоугольным, остроугольным по другому говоря тупоугольным?(Остроугольным.)

Задание 5. Прямоугольник разрезали на два похожих прямоугольных треугольника. Какие фигуры можно сложить из этих треугольников?(Треугольники большего размера.)

– Какая у их будет площадь?(12 клеток.)

Задание 6. Сколько клеток занимают домики вместе с крышей?(12; 12; 15; 11; 14; 15.)

Задание 7 (работа в парах).

IV. Практическая фронтальная работа.

Рассмотрите фигуры и найдите «лишнюю». Назовите общий признак оставшихся фигур.

(Лишний – прямоугольник. Нашему клиенту остается оставшиеся фигуры незамкнутые.)

(Лишний – круг. Другие фигуры имеют стороны и углы.)

(Лишние – часы. Другие – геометрические фигуры.)

Графический диктант: 1 кл. на право, 4.5 кл. на право ввысь по диагонали, 3.5 кл. на лево, 5 кл. на право вниз по диагонали, 1 кл. на право и т. д. Продолжите узор до конца строки.

– Проверим, что за леску мы начертили. Что может быть о ней сказать?(Ломаная, незамкнутая, самопересекающаяся.)

– Какая фигура вышла при скрещении?(Треугольник.)

– Назовите его признаки.(3 угла, 3 вершины, 3 стороны.)

– Как называются треугольники, у каких что остается сделать нашему клиенту стороны равны?

На доске группа треугольников. После ответа детей прикрепляется табличка «Равносторонние».

– Как называются треугольники, у каких две стороны равны?(Равнобедренные.)

– Если нашему клиенту остается три стороны разной длины?(Многосторонние.)

– А какие углы вы осознаете?

– Самые получить прямой угол? Как проверить?

– Какой угол называется острым? Тупым?

– Сложите из счетных палочек прямой, острый и тупой углы. Проверьте друг друга.

К доске выходят 3 ученика в шапочках-«треугольниках» и читают:

Ты для меня, ты ему, на всех нас посмотри:

У нас всего, у нас всего, у нас всего по три!

Три стороны и три угла и столько же вершин,

И трижды трудные дела мы трижды совершим.

Что остается сделать нашему клиенту у нас в городе – друзья, дружнее не сыскать.

Мы треугольников семья, наc кто должен знать!

V. Итог урока.

– Назовите признаки треугольника; виды треугольников.

Верный пятиугольник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как что остается сделать нашему клиенту углы правильного n-угольника равны вместе, кто внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (к примеру, ∠A2A1A5=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых на один при каждой вершине, равна 360º. Потому что что остается сделать нашему клиенту внешние углы правильного пятиугольника равны вместе, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (вы могли внешний угол отыскивать как смежный с внутренним).

Кто центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A1O A2, равен

Так же как и другой верный многоугольник, верный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим 5 равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A1OA5, другими словами

Рассмотрим прямоугольный треугольник A1OF.

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

Подставив значение котангенса 36°, получаем:

Что необходимо, формула радиуса вписанной в верный пятиугольник окружности

с легкостью отыщите площадь правильного пятиугольника. Здесь

Нашему клиенту остается диагонали правильного пятиугольника равны.